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置信区间

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1.什么是置信区间

置信区间又称估计区间,是用来估计参数的取值范围的。常见的52%-64%,或8-12,就是置信区间(估计区间)。

2.置信区间的概述

1、对于具有特定的发生概率的随机变量,其特定的价值区间:一个确定的数值范围(“一个区间”)。

2、在一定置信水平时,以测量结果为中心,包括总体均值在内的可信范围。

3、该区间包含了参数θ真值的可信程度。

4、参数的置信区间可以通过点估计量构造,也可以通过假设检验构造。

3.置信区间的计算步骤

第一步:求一个样本的均值

第二步:计算出抽样误差

人们经过实践,通常认为调查:

100个样本的抽样误差为±10%;

500个样本的抽样误差为±5%;

1,200个样本时的抽样误差为±3%;

第三步:用第一步求出的“样本均值”加、减第二步计算的“抽样误差”,得出置信区间的两个端点。

4.关于置信区间的宽窄

窄的置信区间比宽的置信区间能提供更多的有关总体参数的信息。

假设全班考试的平均分数为65分,则

置 信 区间 间隔 宽窄度 表 达 的 意 思

0-100分 100 宽 等于什么也没告诉你

30-80分 50 较窄 你能估出大概的平均分了(55分)

60-70分 10 窄 你几乎能判定全班的平均分了(65分)

5.置信区间与置信水平、样本量的关系

1.样本量对置信区间的影响:在置信水平固定的情况下,样本量越多,置信区间越窄。

实例分析:

经过实践计算的样本量与置信区间关系的变化表(假设置信水平相同):

样本量置信区间间隔宽窄度
10050%-70%20
80056.2%-63.2%7较窄
1,60057.5%-63%5.5较窄
3,20058.5%-62%3.5更窄

由上表得出:

1、在置信水平相同的情况下,样本量越多,置信区间越窄。

2、置信区间变窄的速度不像样本量增加的速度那么快,也就是说并不是样本量增加一倍,置信区间也变窄一倍(实践证明,样本量要增加4倍,置信区间才能变窄一倍),所以当样本量达到一个量时(通常是1,200,如上例三个国家各抽了1,200个消费者),就不再增加样本了。

通过置信区间的计算公式来验证置信区间与样本量的关系

置信区间=样本的推断值±(可靠程度系数× )

从上述公式中可以看出:

在其他因素不变的情况下,样本量越多(大),置信区间越窄(小)。

2.置信水平对置信区间的影响:在样本量相同的情况下,置信水平越高,置信区间越宽。

实例分析:

美国做了一项对总统工作满意度的调查。在调查抽取的1,200人中,有60%的人赞扬了总统的工作,抽样误差为±3%,置信水平为95%;如果将抽样误差减少为±2.3%,置信水平降到为90%。则两组数字的情况比较如下:

抽样误差置信水平置信区间间隔宽窄度
±3%95%60%±3%=57%-63%6
±2.3%90%60%±2.3%=57.7%-62.3%4.6

由上表得出:

在样本量相同的情况下(都是1,200人),置信水平越高(95%),置信区间越宽。

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