平稳时间序列预测法

1.平稳时间序列预测法概述

1、时间序列 $Y t$ 取自某一个随机过程，如果此随机过程的随机特征不随时间变化，则称过程是平稳的；假如该随机过程的随机特征随时间变化，则称过程是非平稳的。

2、宽平稳时间序列的定义：设时间序列 $y t$ ，对于任意的t,k和m，满足：

$E (y t) = E (y t + m)$

$c o v (y t, y t + k) = c o v (y t + m, y t + m + k)$

则称 $y t$ 宽平稳。

3、Box-Jenkins方法是一种理论较为完善的统计预测方法。他们的工作为实际工作者提供了对时间序列进行分析、预测，以及对ARMA模型识别、估计和诊断的系统方法。使ARMA模型的建立有了一套完整、正规、结构化的建模方法，并且具有统计上的完善性和牢固的理论基础。

4、ARMA模型三种基本形式：自回归模型（AR：Auto-regressive），移动平均模型（MA：Moving-Average）和混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）。

（1）自回归模型AR(p)：如果时间序列 $y t$ 满足

$y_t=phi_1 y_{t-1}+ldots+phi_p y_{t-p}+epsilon_t$

其中 $ε t$ 是独立同分布的随机变量序列，且满足：

$E(epsilon_t)=0,Var(epsilon_t)=sigma^2_epsilon>0$

则称时间序列 $y t$ 服从p阶自回归模型。或者记为 $φ(B) y t = y t - k$ 。

平稳条件：滞后算子多项式 $phi(B)=1-phi_1 B+ldots+phi_p B^p$ 的根均在单位圆外，即 $φ(B) = 0$ 的根大于1。

（2）移动平均模型MA(q)：如果时间序列 $y t$ 满足：

$y_t=epsilon_t- heta_1epsilon_{t-1}-ldots- heta_qepsilon_{t-q}$

则称时间序列服从q阶移动平均模型。或者记为 $y t = θ(B)ε 1$ 。

平稳条件：任何条件下都平稳。

（3）ARMA(p,q)模型：如果时间序列 $y t$ 满足

$y_t=phi_1 y_{t-1}+ldots+phi_p y_{t-p}+epsilon_t- heta_1epsilon_{t-1}-ldots- heta_qepsilon_{t-q}$

则称时间序列 $y t$ 服从(p,q)阶自回归移动平均模型。或者记为 $φ(B) y t = θ(B)ε t$ 。

特殊情况：q=0,模型即为AR(p)，p=0, 模型即为MA(q)。

2.时间序列的自相关分析

1、自相关分析法是进行时间序列分析的有效方法，它简单易行、较为直观，根据绘制的自相关分析图和偏自相关分析图，我们可以初步地识别平稳序列的模型类型和模型阶数。利用自相关分析法可以测定时间序列的随机性和平稳性，以及时间序列的季节性。

2、自相关函数的定义：滞后期为k的自协方差函数为： $r k = c o v (y t - k, y t)$ ，则 $y t$ 的自相关函数为： $ho_k=frac{r_k}{sigma_{y_{t-k}}sigma_{y_t}}$ ，其中 $sigma^2_{y_t}=E(y_t-E(Y_t))^2$ 。当序列平稳时，自相关函数可写为： $ho_k=frac{r_k}{r_o}$ 。

3、样本自相关函数为： $hat{ ho_k}=frac{sum^{n-k}_{t=1}(y_t-ar{y})(y_{t+k}-ar{y})}{sum{n}{t=1}(y_t-ar{y})^2}$ ，其中 $ar{y}=sum{n}{t=1}y_t/n$ ，它可以说明不同时期的数据之间的相关程度，其取值范围在-1到1之间，值越接近于1，说明时间序列的自相关程度越高。