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数学模型

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1.什么是数学模型

数学模型是针对参照某种事物系统的特征或数量依存关系,采用数学语言,概括地或近似地表述出的一种数学结构,这种数学结构是借助于数学符号刻划出来的某种系统的纯关系结构。从广义理解,数学模型包括数学中的各种概念,各种公式和各种理论。因为它们都是由现实世界的原型抽象出来的,从这意义上讲,整个数学也可以说是一门关于数学模型的科学。从狭义理解,数学模型只指那些反映了特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构,这个意义上也可理解为联系一个系统中各变量间内的关系的数学表达。

数学模型所表达的内容可以是定量的,也可以是定性的,但必须以定量的方式体现出来。因此,数学模型法的操作方式偏向于定量形式。

建立数学模型的要求:

1、真实完整。

1)真实的、系统的、完整的反映客观现象;

2)必须具有代表性;

3)具有外推性,即能得到原型客体的信息,在模型的研究实验时,能得到关于原型客体的原因;

4)必须反映完成基本任务所达到的各种业绩,而且要与实际情况相符合。

2、简明实用。在建模过程中,要把本质的东西及其关系反映进去,把非本质的、对反映客观真实程度影响不大的东西去掉,使模型在保证一定精确度的条件下,尽可能的简单和可操作,数据易于采集。

3、适应变化。随着有关条件的变化和人们认识的发展,通过相关变量及参数的调整,能很好的适应新情况。

2.数学模型的分类

1、 精确型:内涵和外延非常分明,可以用精确数学表达。

2、 模糊型:内涵和外延不是很清晰,要用模糊数学来描述。

3.数学模型的基本原则

1、简化原则

现实世界的原型都是具有多因素、多变量、多层次的比较复杂的系统,对原型进行一定的简化即抓住主要矛盾,数学模型应比原型简化,数学模型自身也应是“最简单”的。

2、可推导原则

由数学模型的研究可以推导出一些确定的结果,如果建立的数学模型在数学上是不可推导的,得不到确定的可以应用于原型的结果,这个数学模型就是无意义的。

3、反映性原则

数学模型实际上是人对现实世界的一种反映形式,因此数学模型和现实世界的原型就应有一定的“相似性”,抓住与原型相似的数学表达式或数学理论就是建立数学模型的关键性技巧。

4.数学模型的作用

1、解决对客观现象进行试验的困难。

2、比较容易操作。

3、模型试验能够比较节约。

4、可以揭示客观对象本质。

5.数学模型的构建步骤

1、提出问题并用准确的语言加以表述。

2、分析各种因素,作出理论假设。

3、建立数学模型。

4、按数学模型进行数学推导,得出有意义的数学结果。

5、对数学结论进行分析。若符合要求,可以将数学模型进行一般化和体系化按此解决问题若不符合,则进一步探讨,修改假设,重建模型,直止符合要求为止。

6、优化。对一个问题的假设和数学模型不断加以修改,进行最优化处理。因为对一个问题或一类问题也可能有几个模型,以对它们要进行比较,直到找到最优模型。

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