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公理化方法

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1.什么是公理化方法

公理化方法是数学中的重要方法,它的主要精神是从尽可能少的几条公理以及若干原始概念出发,推导出尽可能多的命题。

随着假设演绎模型法的进一步发展,经济学日益走向公理化方法。最早出现在二千多年前的欧几里德几何学中,当时认为“公理”(如两点之间可连一直线)是一种不需要证明的自明之理,而其他所谓“定理” (如三对应边相等的两个三角形对应角相等)则是需要由公理出发来证明的,18世纪德国哲学家康德认为,欧几里德几何的公理是人们生来就有的先验知识,19世纪末,德国数学家希尔伯特(David Hilbert)在他的几何基础研究中系统地提出数学的公理化方法。他认为每一种数学理论都应以“基本概念——公理——定理” 的模式来建立:这里的公理是作为理论出发点的科学假设,它们要求有完备性(任何定理可由此导出)、独立性(去掉其中之一有的定理就不能成立)和相容性(公理间是无矛盾的),但公理本身也由人们作各种解释。20世纪以来,整个数学体系几乎都巳按希尔伯特的模式得到公理化处理。

2.公理化方法的特点[2]

(1)公理系统是一个有序的整体。它并不平等地对待系统中的所有命题,而是将其划分为两类:公理(不加证明引入的)及定理(需要证明其为真的)并按纵向由浅入深地建立起多命题间的有机的联系。

(2)在公理系统中,只要不是公理中的命题都不能不加证明地引用,没有经过严格论证过的命题无资格作为演绎推论的前提,因而就排除了继续运用归纳法引入演绎前提的渠道,成为纯粹的演绎系统。

(3)公理系统是形式化的。只着眼于概念、命题间的关系,不考虑其来源、运用和发展。尽管它最先引入了一些原始对象(概念和命题),但对这些东西的解释却被当作系统之外的事,在系统内,只是作为一种“假设”。

3.公理化方法的分类[3]

①实质性公理化方法

所谓实质性公理化方法是指在一个公理系统中,基本概念(包括基本对象和基本关系)不是原始概念,而是给基本概念下了定义或确定了它的具体内容,也就是说,一个公理系统研究的对象的范围、涵义和特征是先于公理而给出的,公理只是表达这类特定对象的基本性质,而且必须是不证自明的。例如,欧几里得的《几何原本》就是一个典型的例子。在公元前3世纪左右,欧几里得总结了前人积累起来的大量的几何知识,对其进行抽象分析,找出了一系列的基本概念和基本性质(公理),然后按逻辑规律建立成一个公理系统。该系统包含了当时所有的几何知识,成为一个有机联系的系统。在《几何原本》中,欧几里得首先提出了三个基本元素(点、线、面)作为欧氏几何系统的几何对象,然后又提出三个基本关系(属于、介于、合同)作为基本元素所具有的基本关系,这三个基本元素和基本关系构成了欧几里得公理系统的基本概念,这些概念都有其具体的几何意义。在此基础上,欧几里得又提出了反映这些基本概念所特有的最基本的性质,即五个公设和五个公理;最后,由这些公设、公理出发,借助逻辑演绎规则推出其他性质,即命题。在(几何原本)里给出了465个命题:(几何原本)在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑。它的贡献不在于发现了几条新命题,更主要的是标志了数学领域中公理化方法的诞生。

然而,(几何原本)中的公理系统并非完善,如,定义不完善,有些概念应是不加定义的原始概念;在运用中,往往使用了一些未定义的概念,有些命题的证明过程过分依下直观,缺少严格的推理。这些不足之处,早为古代学者所发现,特别是对第五公设的怀疑,促使许多数学家不断地去努力完善它。在这些数学家中,尤以德国数学家希尔伯特为杰出代表。在1899年出版的名著(几何基础)中,他吸收了前人优秀成果,完善了(几何原本)的公理系统,发展了几何学公理方法,使公理化方法发生了一个质的飞跃,产生了全新的形式公理化方法。

②形式公理化方法

形式公理化方法是指一个系统中基本概念作为不加定义的原始概念,也就是说,在一个公理系统中它所研究的对象的范围、涵义和特征不是先于公理而确定,而是由公理组予以确定,也称隐定义。如希尔伯特的(几何基础)中的公理系统都是属于形式化的公理系统。

这种公理系统由三部分组成,①基本对象(或原始对象),如点、线、面;②基本关系(或原始关系),如结合关系、顺序关系、合同关系、连续关系、平行关系;③基本性质(或公理),如结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理。

从表面上看,上述两种公理化方法的主要差别在于前者不完备而后者完备,但这不是本质上的差别,其本质差别在于基本概念是定义于公理之前、还是定义于公理之后。(几何原本)的公理系统中,基本概念定义于公理之前,而且有明显的几何意义,其必然使公理束缚于直觉观念。而形式化的公理化方法是先确定公理组,后确定基本概念,也就是说,谁能满足公理组所要求的条件,谁就有资格作为该公理系统的研究对象。如希尔伯特的几何公理系统中的点、线概念被解释成几何中的点和线,就可以得到一个初等几何理论系统;若把它们解释成代数中的点和线,即数对(x,y)与线性方程Ax + By + C = 0,就可以得到一个代数理论系统,这也正是形式公理化方法的最大优点所在。

③纯形式公理化方法

随着集合沦的建立和数理逻辑的发展,希尔伯特又把公理化方法推向一个新的阶段,即纯形式化阶段。其基本思想就是,采用符号语言把一个数学理论的全部命题变成公式的集合,然后证明这个集合是无矛盾的。

4.公理化方法的作用[1]

(1)这种方法具有分析、总结数学知识的作用.凡取得了公理化结构形式的数学,由于定理与命题均已按照逻辑演绎关系串联起来,故使用起来也较方便.

(2)公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚,这就有利于比较各门数学的实质性异同,并能促使和推动新理论的创立.

(3)数学公理化方法在科学方法论上有示范作用.这种方法对现代理论力学及各门自然科学理论的表述方法都起到了积极的借鉴作用.例如,20世纪40年代波兰的巴拿赫(Banach)曾完成了理论力学的公理化;物理学家还把相对论表述为公理化形式,等等.

(4)公理化方法形式表现的简洁性、条理性和结构的和谐性正好符合美学上的要求.

5.公理化方法的基本要求[3]

运用数学公理化方法,就是要根据本学科提供的丰富材料,通过深入的分析,寻找其间的逻辑关系,从中抽象出少数基本概念和基本命题,将其作为公设、公理和基本概念并在此基础上运用逻辑规则进行推理、论证,推导出其他一系列的定理、性质,建立起演绎系统。一个公理系统建立得是否合理,是否科学,一定要具备以下三个条件:

①相容性

—个公理系统中,不能存在两种截然相反的命题,即正、逆命题不能同时在一公理系统中成立。这也称协调性或—致性。

②独工性

在一个公理系统中,所选定的各个公理,它们之间不能有依存关系,一个公理不能被其它公理所推出,否则这个公理实质上是个定理,在公理系统中就成为多余的。

③完备性

在公理系统中,要保证该公理组推出该系统的全部真命题。

③完备性在公理系统中,要保证该公理组推出该系统的全部真命题。上述三点是对一个完善的公理系统的基本要求。但是,一个公理系统要逐一验证满足这三个条件,并不是那么简单的。

6.公理化方法的基本问题[4]

(1)相容性:亦称无矛盾性。如果一个公理系统2不存在两个相互矛盾的命题,则称2是相容的或无矛盾的。对公理系统相容性的要求是最基本的要求,任何理论体系皆要满足这要求,否则,就不具有存在的价值。当然,这种相容性仅指在同一个确定的公理系统中。对于两个不同的公理体系,也可能出现相互矛盾的公理或定理。例如在欧氏几何中,"三角形内角和是180°"是真命题,但在非欧氏几何中,却是假命题,

(2)独立性:指公理系统中的每一条都有存在的必要性,换言之,公理系统任何一条公理都不应该根据这一系统的规则由其它公理推出来。实际上就是要求系统中的公理数目减少到最低限度,不允许有多余者存在,这一条保证了公理的简单性。

(3)完备性:指确保从公理系统出发能推出所论数学分支的全部命题,而不需凭借经验和直观。它保证了必要的公理不能少。由于可能的定理的个数是没有限制的,也可用同构的观点对完备性作更确切的解释,即:如果已知的公理系统所有模型都是同构的,则该系统称为完备的(这一性质称为范畴性)。

7.功利化方法的应用实例[5]

(1)古希腊数学家欧几里德的《几何原本》就是这样给出了一个古典的公理化体系。在这部世界名著中,欧几里德由23个定义、5条公设和5条公理,推出众多的定理。这是科学史上第一个严密的理论体系,它对以后西方数学及自然科学的发展具有深远的影响。

(2)牛顿的不朽之作《自然哲学之数学原理》就是根据公理化方法写成的。它以(牛顿)运动三定律和万有引力定律为其理论体系的逻辑起点,运用演绎逻辑和数学的形式化方法,推导出了关于力的平行四边形法则、动量守恒、相对性原理等6条定理,构筑了经典力学的理论体系。

(3)爱因斯坦(Albert Einstein)创建相对论时,也是采用公理化方法。他以光速不变原理和相对性原理这两条基本假设作为建构整个狭义相对论理论体系的逻辑起点;以等价性原理(又称。等效原理”)和广义协变原理(又称为广义相对论中的“相对性原理”)作为逻辑起点,建构出广义相对论的完整体系。

8.公理化方法的应用发展

经济学中的公理化方法从20世纪3O年代起就有了应用,但对经济学有决定性影响的则是德布鲁(G·Debreu)的经典著作:《价值理论:经济均衡的一种公理化分析》在这一公理化分析中的基本概念是:商品空问、价格体系消费者和生产者。由此又可导出需求供给、可达状态、经济均衡等概念。然后,再对各个理念作出明确的数学规定,即公理,这包括一些最基本的前提假设。

供求双方的相互作用通过价格机制来间接完成,最终价格使经济中对立的、变动的力量达到一种力量相当、相对静止、不再变动的境界,实现了所有市场参与者的最大化和供求相等的状态,即市场出清了。这是由公理出发证明的一般均衡存在的定理。

德布鲁以后,公理化方法已渗入到经济学的各个领域,它的优点首先在于能够使经济学中的“公理” 与“定理” 严格区分开来。侧如,认为完全竞争与认为不完全竞争就是两条不同的“公理”。它们导出的“定理” 自然有所不同,但应该争论的是“公理”,而不应是“定理”。“公理”上的分歧是观念问题 因此,一般均衡存在定理虽然是划分学派的重要标准,是经济自由主义与国家干预主义的分界线,但是在经济学中, 对市场出清定理的分歧.是源于公理上的分歧,集中体现了两派在基本观念上的分歧。

公理化方法的重要应用之一是利用形式逻辑建立学科理论知识的关系。关于形式逻辑在会计基本理论发展中的作用,利奥·A·施密特教授曾做过有益的探索。他提出, 演绎逻辑是“通过显示讨论中的某一现象是一种公认判定的特定例证或应用,从而形成结论的过程。公认判定在专业上称为大前提,特征事实的表述则称为小前提。”而且,他还尝试着列举了三个会计方法中的大前提以及如何运用三段论式的演绎方法表述存货计价的方法。他在研究中将演绎的方法引入会计学,具有一定的学术价值。但其中仍存在一些不足:他仅仅看到在会计师的日常工作中的确存在着一些观念性的公认的前提,而他们所做出的判定又往往是基于某种前提的暗示,但是对于这种暗示的实质并没有加以揭示。而且,他没有具体解释这些前提在会计基本理论结构中的地位、作用以及理论本身发展所可能遵循的途径。他的观点还停留在对会计活动的直观感受上,而尚未将其与公理学以及数理逻辑的研究成果相结合,上升为一种系统化的理性熟悉,因此也没能指出会计学演绎方法的本质。

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