本题分别与2012、2013原题出现过两次,今年改编数据重新拿出来考。所以大家在备考的时候,选择的题目不在于年份,而是根据题目考察的考点、问题的问法等方面来考虑,精选典型的题目,有针对性的训练,才能达到事半功倍的效果。

本题与广州今年一个机构的中考模拟题几乎完全一样的问法,区别在于数据的大小,以及有图和无图。

2012年福建省福州市中考数学压轴题

2013年甘肃省天水市中考数学压轴题

【真题重现】

(2017•淄博)如图1,经过原点O的抛物线y=ax²+bx(a≠0)与x轴交于另一点A(3/2,0),在第一象限内与直线y=x交于点B(2,t).

(1)求这条抛物线的表达式;

(2)在第四象限内的抛物线上有一点C,满足以B,O,C为顶点的三角形的面积为2,求点C的坐标;

(3)如图2,若点M在这条抛物线上,且∠MBO=∠ABO,在(2)的条件下,是否存在点P,使得△POC∽△MOB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【参考答案】

【分析】(1)由直线解析式可求得B点坐标,由A、B坐标,利用待定系数法可求得抛物线的表达式;

(2)过C作CD∥y轴,交x轴于点E,交OB于点D,过B作BF⊥CD于点F,可设出C点坐标,利用C点坐标可表示出CD的长,从而可表示出△BOC的面积,由条件可得到关于C点坐标的方程,可求得C点坐标;

(3)设MB交y轴于点N,则可证得△ABO≌△NBO,可求得N点坐标,可求得直线BN的解析式,联立直线BM与抛物线解析式可求得M点坐标,过M作MG⊥y轴于点G,由B、C的坐标可求得OB和OC的长,由相似三角形的性质可求得OM/OP的值,当点P在第一象限内时,过P作PH⊥x轴于点H,由条件可证得△MOG∽△POH,由OM/OP=MG/PH=OG/OH的值,可求得PH和OH,可求得P点坐标;当P点在第三象限时,同理可求得P点坐标.

【解答】解:(1)∵B(2,t)在直线y=x上,∴t=2,∴B(2,2),

把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得4a+2b=2,9/4 a+3/2 b=0,

解得a=2,b=-3,

∴抛物线解析式为y=2x²﹣3x;

(2)如图1,过C作CD∥y轴,交x轴于点E,交OB于点D,过B作BF⊥CD于点F,

∵点C是抛物线上第四象限的点,

∴可设C(t,2t²﹣3t),则E(t,0),D(t,t),

∴OE=t,BF=2﹣t,CD=t﹣(2t²﹣3t)=﹣2t²+4t,

∴S△OBC=S△CDO+S△CDB

=1/2CD•OE+1/2CD•BF

=1/2(﹣2t²+4t)(t+2﹣t)

=﹣2t²+4t,

∵△OBC的面积为2,

∴﹣2t²+4t=2,解得t1=t2=1,∴C(1,﹣1);

(3)存在.

设MB交y轴于点N,如图1,

∵B(2,2),∴∠AOB=∠NOB=45°,

∴△AOB≌△NOB(ASA),∴ON=OA=3/2,

∴N(0,3/2),∴可设直线BN解析式为y=kx+3/2,

把B点坐标代入可得2=2k+3/2,解得k=1/4,

∴直线BN的解析式为y=1/4x+3/2,

联立直线BN和抛物线解析式可得y=1/4 x+3/2,y=2x²-3x,

解得x=2,y=2或x=-3/8,y=45/32,

∴M(﹣3/8,45/32),∵C(1,﹣1),

∴∠COA=∠AOB=45°,且B(2,2),

∴OB=2√2,OC=√2,∵△POC∽△MOB,

∴OM/OP=OB/OC=2,∠POC=∠BOM,

当点P在第一象限时,如图3,过M作MG⊥y轴于点G,过P作PH⊥x轴于点H,

∵∠COA=∠BOG=45°,

∴∠MOG=∠POH,且∠PHO=∠MGO,

∴△MOG∽△POH,

∴OM/OP=MG/PH=OG/OH=2,

∵M(﹣3/8,45/32),

∴MG=3/8,OG=45/32,

∴PH=1/2MG=3/16,OH=1/2OG=45/64,

∴P(45/64,3/16);

当点P在第三象限时,如图4,过M作MG⊥y轴于点G,过P作PH⊥y轴于点H,

同理可求得PH=1/2MG=3/16,OH=1/2OG=45/64,

∴P(﹣3/16,﹣45/64);

综上可知存在满足条件的点P,其坐标为(45/64,3/16)或(﹣3/16,﹣45/64).

【举一反三】

广州某机构中考数学模拟题

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