【真题重现】

（2017•广州）如图，平面直角坐标系中O是原点，▱ABCD的顶点A，C的坐标分别是（8，0），（3，4），点D，E把线段OB三等分，延长CD、CE分别交OA、AB于点F，G，连接FG．则下列结论：

①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；③四边形DEGF的面积是20/3；④OD=(4√5)/3

其中正确的结论是______（填写所有正确结论的序号）．

【参考答案】

【分析】①证明△CDB∽△FDO，列比例式得：BC/OF=BD/OD，再由D、E为OB的三等分点，则BD/OD=2/1=2，可得结论正确；

②如图2，延长BC交y轴于H证明OA≠AB，则∠AOB≠∠EBG，所以△OFD∽△BEG不成立；

③如图3，利用面积差求得：S△CFG=S▱OABC﹣S△OFC﹣S△OBG﹣S△AFG=12，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行计算并作出判断；

④根据勾股定理进行计算OB的长，根据三等分线段OB可得结论．

【解答】解：①∵四边形OABC是平行四边形，

∴BC∥OA，BC=OA，∴△CDB∽△FDO，

∴BC/OF=BD/OD，∵D、E为OB的三等分点，

∴BD/OD=2/1=2，∴BC/OF=2，∴BC=2OF，

∴OA=2OF，∴F是OA的中点；所以①结论正确；

②如图2，延长BC交y轴于H，

由C（3，4）知：OH=4，CH=3，

∴OC=5，∴AB=OC=5，∵A（8，0），∴OA=8，

∴OA≠AB，∴∠AOB≠∠EBG，∴△OFD∽△BEG不成立，

所以②结论不正确；

③由①知：F为OA的中点，同理得；G是AB的中点，

∴FG是△OAB的中位线，∴FG=1/2 OB，FG∥OB，

∵OB=3DE，∴FG=3/2DE，∴FG/DE=3/2，

过C作CQ⊥AB于Q，

S▱OABC=OA•OH=AB•CQ，∴4×8=5CQ，

∴CQ=32/5，S△OCF=1/2OF•OH=1/2×4×4=8，

S△CGB=1/2BG•CQ=1/2×5/2×32/5=8，S△AFG=1/2×4×2=4，

∴S△CFG=S▱OABC﹣S△OFC﹣S△OBG﹣S△AFG=8×4﹣8﹣8×4=12，

∵DE∥FG，∴△CDE∽△CFG，∴S_(△CDE)/S_(△CFG) =(DE/FG )^2=4/9，

∴S_四边形DEGF/S_(△CFG) =5/9，∴S_四边形DEGF/12=5/9，

∴S四边形DEGF=20/3；所以③结论正确；

④在Rt△OHB中，由勾股定理得：OB2=BH2+OH2，

∴OB=√(4^2+(3+8)^2 )=√137，∴OD=√137/3，

所以④结论不正确；故本题结论正确的有：①③；

故答案为：①③．

【举一反三】