数的进化

回顾从自然数1,2,3,4,…开始,再加上分数、负数、无理数,直到成为实数的发展过程,可以说它很像是许多涓涓细流汇成一条大河。

[注:本文涉及的自然数不包括0。]


自然数添上分数,再添上负数就成为了有理数(当然还要添上0);有理数再加进无理数就成为实数。可是光有实数还不够,再加上新来的虚数,这就诞生了更广泛的数——复数。


那么,为什么在数的世界里,要从自然数扩大到实数呢?他细想一想,这里有个一贯的原则。比如说,有一个人只知道10以内的数。


1,2,3,…,10


当然对这个人来说:加法也是不太行的。也就是说,即使取其中任意两个数相加,也有可能答不上来。如果是2+3,他知道是5。要是6+7的话,他就只好说“不知道”了。他即使知道10000以内的数也是一样。因为6000+7000的答案不可能在10000以内的数里找出来。因此,为了无限制地进行+运算,就必须有无限多的自然数。这样就产生了所谓无限多的自然数的整体的想法,这就是


1,2,3,…


想象有这样一个自然数的整体,就可以自由的进行+运算了。这时,自然数的整体对于+来说叫做闭合。由于乘法也是自然数的相乘,是加法的重复,因此也能自由地进行。也就说自然数的整体对于×是闭合的。所以在只考虑+或×的时候。只要自然数就够用,没有必要再考虑新的数。


可是要考虑×的逆运算÷的时候,自然数就不再闭合。因为任意取两个自然数作除法结果却不一定是自然数。例如2÷3的结果就不是自然数。


自然数的范围太狭窄了,要想自由地进行除法运算,就必须增加新的数,这就是分数。在自然数与分数合起来的更宽广的数的范围内,+,×,÷就可以自由地进行。


然而,想到+的逆运算-的时候,这个范围又窄了。因为不能从小数减去大数,例如2-5,即使写出这个式子,也得不出答案。为了让这个式子也能有答案,就必须想出-3这样一个新数。也就是说要自由地做-运算,需要有一种新的数——负数。把数的范围扩大到正的自然数、负的自然数及分数,即有理数时,+,-,×,÷四则运算可以自由的无限制地进行。换句话说有理数对于四则运算是闭合的。


19世纪的天才数学家伽罗瓦把对于四则运算闭合的数的集合叫做。按照这个叫法,也可以说整个有理数的集合是域。当然,叫域的除了有理数之外还有许多,对于我们来说最熟悉的首先就是有理数。


当数的世界扩展到有理数时,+,-,×,÷的计算虽然能自由地进行,但是还不具有连续性,所以仍然不能表示直线上所有的点。填满这些空缺就需要无理数。有理数与无理数合起来就是实数。有了实数就可以表示直线上所有的点。


总而言之,实数的集合就是对于+,-,×,÷闭合的一个域,同时还具有连续性。到此为止,似乎可以认为数的世界扩展可以暂时停止了。


可是,如果实数世界就是终点,数的交响乐不过是缺少最后乐章的未完成的交响乐而已。随着实数而来的最后的乐章就是复数。


四则逆运算

以前扩大数的世界时,在很多情况下它的契机是逆运算。例如,由于×的逆运算÷而增加了新的分数;由+的逆运算-而产生了新的负数。从实数产生复数的契机也仍然基于逆运算。假如我们对于x这样一个实数任意进行+,-,×,÷四则运算时,可得到以下的式子:


不管这些式子多么复杂,也只是+,-,×,÷的组合,所以只要x是实数,代入计算的值就也是实数。


比如设下面式子等于y:

假定这个式子是从x算出y的,这就是四则运算。

现在来考虑四则运算的逆运算,也就是从y求出x。例如当y=2时,x等于多少呢?这个计算就是

为此,只要解答下面的式子求出x,

去掉分母

移项得

解满足这个方程的x,结果呢?所谓的逆运算不过是解代数方程,只此而已。


以前也有这样的事,就是逆运算要比原来顺运算难,如-比+难,÷比×难。现在的情况也是如此,解代数方程的运算是比四则运算要难。

那么在实数的范围里,能不能自由地进行解这个代数方程的运算呢?答案是否定的。请看下面的实例。


在四则运算  中,要是反过来从y求x的话,就不是任何时候都能行得通的。如果y是正数

可以求出实数x。如果y是负数,例如y=-1就不能在实数范围内找出与之对应的x。因为(实数)² 决不会是负数。


因此我们知道,在实数的范围内,对于四则运算的逆运算“解代数方程”来说,不是闭合的。要想自由地解代数方程,就必须打破实数的框框,导入新的数。这个新的数就是虚数。


* 本文节选自《数学与生活(修订版)》,远山启[日]著,人民邮电出版社。

来源:每天好玩的数学

编辑:J.C


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作者:佚名
来源:中科院物理所